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By Heinz Lüneburg

ISBN-10: 3034888732

ISBN-13: 9783034888738

ISBN-10: 3764356855

ISBN-13: 9783764356859

Unter Verzicht auf alles Räumliche wird hier die ebene euklidische Geometrie aufgebaut, indem mit der Untersuchung von beliebigen projektiven und affinen Ebenen begonnen, dann aber sehr rasch zu Ebenen übergegangen wird, die von kommutativen Körpern koordinatisiert werden. In affinen Ebenen wird die Mittelpunktsrelation studiert, die erstaunliche Konsequenzen hat, sowie Orthogonalitätsrelationen und das Winkelhalbieren. Ist das Winkelhalbieren immer möglich, so trägt der Koordinatenkörper eineAnordnung, so dass guy schon sehr nahe bei der euklidischen Ebene ist. Kegelschnitte werden ebenfalls gründlich untersucht. Sind Gerade durch innere Punkte stets Sekanten, so impliziert dies ebenfalls die Anordenbarkeit des Koordinatenkörpers und noch mehr, so dass auch dieses uns in die Nähe der Ebene über den reellen Zahlen bringt. Zum Schluss, im siebten Kapitel, wird dann gezeigt, welche geometrischen Eigenschaften dazu dienen können, die reelle Ebene unter allen übrigen affinen Ebenen auszuzeichnen.

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Dies gilt auch noch heute, trotz der Arbeit von Helga Tecklenburg, A Proof of the Theorem of Pappus in Finite Desarguesian Affine Planes. Journ. ) Wie jeder gute Satz, so zeugen auch die beiden soeben erwähnten Sätze eine Reihe weiterer interessanter Resultate, die man auf dem Wege zu ihnen beweisen muß. So werden wir eine ganze Menge über die algebraische Beschreibung von Zentralkollineationen von desarguesschen Ebenen erfahren sowie auch einiges über Translationsebenen, mit deren Untersuchung wir beginnen, da sie der Schlüssel für alles weitere sind.

D. l etwa auch surjektiv ist. Dies ist im allgemeinen nicht der Fall. l genau dann surjektiv ist, wenn V endlichen Rang hat. l sicher dann surjektiv ist, wenn V endlichen Rang hat. Eine vollständigere Diskussion findet sich z. B. in meiner" Einführung in die Algebra", Kap. IV, Abschnitt 6 und Abschnitt 8 oder auch in meiner "Linearen Algebra" von 1993. 5. Ist U E L(V*), so ist U ~ U T ~. Beweis. Ist fE U, so ist U T ~ Kern(f) und folglich f E UT~, q. e. d. 6. Ist U E L(V), so ist V* /U~ ~ U*. Beweis.

Also ist U ~ n Kern(f) = U~ T. L Es sei v E V - U. Dann ist vK n U = {O}. Es gibt daher ein X E L(V) mit U ~ X und V = vK EB X. Hieraus folgt die Existenz eines f E V* mit fv = 1 und X = Kern(f). Wegen U ~ X ist f E U ~. Andererseits ist v (j U ~ T, so daß U = U~ T gilt, q. e. d. 4. Satz. l eine injektive Abbildung von L(V) in L(V*) mit der Eigenschaft: Sind X, Y E L(V), so gilt genau dann X ~ Y, wenn Y~ ~ X~ ist. Beweis. l eine Abbildung von L(V) in L(V*) ist. l injektiv ist. Es seien nun X, Y E L(V).

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by Kenneth
4.3

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