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By Dietmar Achilles

ISBN-10: 3540083626

ISBN-13: 9783540083627

ISBN-10: 3662114925

ISBN-13: 9783662114926

1. 1 EinfUhrendes Beispiel Aus den zahlreichen Anwendungen der Fourier-Transformation in der Signalverar beitung sei zur Einfilhrung ein Beispiel ausgew8. hlt, das einerseits besonders deut lich die tragende Rolle der Fourier-Transformation zeigt und andererseits eine Schilderung der Zusammenhange unmittelbar aus der Anschauung heraus gestattet: die Bestimrriung der Oberflachenstrukturen von Planeten durch Zeit-Frequenz-Ana lyse von Radarimpulsen. Zunachst einige Vorbemerkungen zur Radar-Astronomie [1. 1-1. 3J allgemein: Sie dient der Erforschung unseres Sonnensystems. Nachbarplaneten, Sonne, Mond und andere Himmelskorper sind dabei Zielobjekte von Radarimpulsen, die liber die Pa rabolantennen von Radioteleskopen abgestrahlt werden. Ein sehr kleiner Teil der vom jeweiligen Objekt reflektierten bzw. gestreuten Impulsenergie gelangt wieder zum Radioteleskop zurlick, wird aus den liberlagerten Rauschsignalen herausgef- tert und hinsichtlich der gewlinschten info ausgewertet. Der relativ kompli zierte SignalverarbeitungsprozeB wird in der Regel mit Hilfe einer Digitalrechenan lage, die direkt mit dem Radarsystem verbunden ist, in Echtzeit ausgefUhrt. sign auswertungen dieser paintings liefern beispielsweise Messungen der Planetenpositionen und -bahngeschwindigkeiten, die urn GroBenordnungen genauer sind als bei entspre chenden optischen Beobachtungsmethoden. Darliber hinaus erhalten wir Informationen liber die Rotation und die Oberflachenstruktur von Planeten, auch und insbesondere dann, wenn sie wie die Venus von einer undurchsichtigen Atmosphare umgeben sind. Urn einen Einblick in die Zusammenhange zu gewinnen, gehen wir von einer verein fachenden Modellvorstellung aus. Der Sendeimpuls sei ein tragerfrequenter Recht eckimpuls der shape fUr 0';;; t .;;; e (1. 1-1) sonst."

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Hieraus folgt beispielsweise, daß eine Linearkom bi nation oder das Produkt zweier periodischer Funktionen mit den Perioden 8 und 8 genau dann wieder auf eine periodische Funktion führt, wenn 8 /8 eine 2 2 1 rationale Zahl ist. 2. 3-11) haben wir Anschluß an die bisherigen Ergebnisse der Fourier-Transformation gewonnen. Wir können dam it alle Abbildungsgesetze, sofern sie auch für die Distributionen gelten, sinngemäß übernehmen. Außerdem ist es nun möglich, kontinuierliche und diskontinuierliche Spektren miteinander zu verknüpfen.

L nicht von n abhängen, also unabhängig von der Anzahl der zur Approximation verwendeten harmonischen Funktionen sind. J I"} größer n, desto genauer ist die A pproximation. 3-9) v=- = überall gilt, wo ul t ) stetig ist, während an Unstetigkeitsstellen von uf t ) das arithmetische Mittel der Grenzwerte von links und rechts angenommen wird : co \' ~c ve j2 n vt/8 1 (( ) ='2 u t- O+ u(t+O». 3-10) v=-= Die Fourier-Koeffizienten hängen natürlich nicht davon ab, wie der Wert von u( t ) an einer Unstetigkeitsstelle definiert ist.

13. I. i. I. gerade 1(_1)m/( IIJ. i. 3 Signale endlicher Leistung 43 und die Fourier-Reihendarstellung lautet für das Periodizitätsintervall 1 (_l)m n(2m + 1) cosf zm + t Jt = 11~2 für ,;;;; 8/2: [t I < 8/4 für für Itl ItI = 8/4 8/4 < It I ,; ; 8/2. 3-14) Berücksichtigt man nur die Reihenglieder von m = 0 bis m = 6, so ergibt sich der in Bild 2. 14 dargestellte Verlauf, dessen periodische Fortsetzung die ursprüngliche Pulsfolge approximiert. 2) . 14. 3-15) die durch Bewertung mit einer Gewichtsfunktion g(t) aus der periodischen Pulsfolge ul t ) entstanden sein möge.

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by Kevin
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